Olympiades de Maths

Les monsieurs dames qui élaborent les olympiades ont et non pas a écrit:Le lièvre et la tortue.
La piste du champiodrome a la forme suivante: deux arcs formant les trois quarts d'un cercle, raccordés
par les deux diagonales d'un carré, ces deux diagonales se coupant en un carrefour.
Au même instant, une tortue et un lièvre partent du carrefour, empruntant deux diagonales différentes
menant à deux arcs de cercle différents.

Sur le dessin, une flèche pour la tortue, deux flèches pour le lièvre.
Les deux animaux courent à une vitesse constante, et la tortue met 363 secondes pour parcourir la distance
paurcourue par le lièvre en 1 seconde.

Après 2005 rencontres (dépassements sur la piste ou croisements au carrefour), hormis le départ, le lièvre
abandonne.

Combien de fois avait-il croisé la tortue au carrefour?

un gars qui aurait pu passer en 1er si il avait été en cour a écrit:
Voila le connaisait:
Le lièvre va 363 fois plus vite que la tortue.
Lorsque la tortue a fait 1/2 circuit, le lièvre a fait 363 1/2 circuit => 181 « tours et 1 1/2 circuit au bout duquel les deux bête (au deux sens du terme lol) se croisent.
Le lièvre a donc doublé 181 fois la tortue et l’a rencontrer une fois au croisement.
1er demi circuit de la tortue : 182 croisements.
2nd demi circuit de la tortue: idem
ect
soit 181 doublement et 1 croisement par tour...
Au total:
2005/181 =11+36

Donc pour 2005 rencontre, la tortue aura fait 11 moitiés de circuit, qui auront généré 11 croisements.

Exercice 2: Un pavage.
Le rectangle ci-dessous est pavé par 9 carrés. Le carré noir a pour côté une unité.
Quelles sont les dimensions du rectangle?

Yumi a écrit:les sujets me rappellent UN TOUT PETIT PEU ceux de MES olympiades de maths (que j'avait particulièrement foirées... mm l'exo simple avec les carrés...)

bonne chance à tous!

Une entreprise de peinture s'est vu confier la numérotation des plaques de la rue principale qui compte moins de 1000 maisons. Les deux employés chargés de l'exécution de la tâche travaillent à des vitesses différentes. Pendant que l'un peint 8 chiffres, l'autre en peint 10. Aussi ont-ils décidé de procéder de la manière suivante. Le moins rapide commencerait par les premiers numéros (1, 2, 3, etc.) et l'autre par les derniers. L'écart entre les numéros peints par nos deux hommes ne peut donc que se rétrécir au fur et à mesure qu'ils avancent dans leur travail. Ils terminent de peindre leur dernière plaque, en même temps ; et chose curieuse, chacun a peint exactement le même nombre de plaques que l'autre. Combien de maisons y a-t-il dans la rue principale ?

Après de multiples péripéties une archéologue a été abandonnée par un faux guide, évanouie et dévalisée à l'intérieur d'une pyramide. A son réveil, elle se retrouve seule, dans une immense pièce entourée de quatre cents portes fermées, numérotées de 1 à 400. Elle découvre près d'elle un papyrus indiquant qu'une seule porte permet d'en sortir, les autres donnant dans des couloirs piégés. Ce papyrus donne aussi le moyen de trouver la bonne porte :
Sachant qu' « Actionner une porte » c'est « la fermer si elle est ouverte, l'ouvrir si elle est fermée », suivre les instructions suivantes :
Etape 1 : ouvrir toutes les portes
Etape 2 : actionner les portes dont les numéros sont multiples de 2. Ici cela revient à les fermer.
Etape 3 : actionner celles dont le numéro est un multiple de 3.
Etape 4 : actionner celles dont le numéro est un multiple de 4.
Etape 5 : actionner celles dont le numéro est un multiple de 5.
Et ainsi de suite.
A la fin de toutes les étapes sortir par la dix-septième porte ouverte. L'archéologue férue de mathématiques réfléchit un instant et se dirige sans hésitation vers la bonne porte. A la fin de toutes les étapes :
1) Préciser la position ( ouverte ou fermée ) de chacune des 5 premières portes.
2) Que dire des positions des portes numérotées 24, 25, 27, 36 et 40 ?
3) Quelle conjecture peut-on faire sur le numéro des portes qui sont ouvertes ?
4) Quel est le numéro de la porte qui lui a permis de sortir ?
5) Comment l'archéologue a-t-elle fait pour le trouver ?